致命的流沙
偏度这一指标,又称偏斜系数、偏态系数,是用来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。在数据序列呈对称分布(正态分布)的状态下,其均值、中位数和众数重合。且在这三个数的两侧,其它所有的数据完全以对称的方式左右分布。如果数据序列的分布不对称,则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。这时,若以均值为参照点,则要么位于均值左侧的数据较多,称之为右偏;要么位于均值右侧的数据较多,称之为左偏;除此无它。考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这一约束,则当均值左侧数据较多的时候,均值的右侧必定存在数值较大的“离群”数据;同理,当均值右侧数据较多的时候,均值的左侧必定存在数值较小的“离群”数据。一般将偏度定义为三阶中心矩与标准差的三次幂之比。在上述定义下,偏度系数的取值无非三种情景:1.当数据序列呈正态分布的时候,由于均值两侧的数据完全对称分布,其三阶中心矩必定为零,于是满足正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零。2.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的左侧数据较多,则其右侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取正值。因此,当数据的分布呈右偏的时候,其偏度系数将大于零。3.当数据序列非对称分布的时候,如果均值的右侧数据较多,则其左侧的“离群”数据对三阶中心矩的计算结果影响至巨,乃至于三阶中心矩取负值。因此,当数据的分布呈左偏的时候,偏度系数将小于零。在右偏的分布中,由于大部分数据都在均值的左侧,且均值的右侧存在“离群”数据,这就使得分布曲线的右侧出现一个长长的拖尾;而在左偏的分布中,由于大部分数据都在均值的右侧,且均值的左侧存在“离群”数据,从而造成分布曲线的左侧出现一个长长的拖尾。可见,在偏度系数的绝对值较大的时候,最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很高(很大或很小),亦即分布曲线某侧的拖尾很长。但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。例如,也不能排除在数据较少的那一侧,只是多数数据的离差相对于另一侧较大,但不存在明显“离群”数据的情景。所以,为准确判断分布函数的偏斜程度,最好的办法是直接观察分布曲线的几何图形。
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偏度系数是描述分布偏离对称性程度的一个特征数。当分布左右对称时,偏度系数为0。当偏度系数大于0时,即重尾在右侧时,该分布为右偏。当偏度系数小于0时,即重尾在左侧时,该分布左偏。使用不同的计量单位时,偏度系数的计算公式是不同的。相关信息:正态分布的偏度为0,两侧尾部长度对称。若以bs表示偏度。bs<0称分布具有负偏离,也称左偏态,此时数据位于均值左边的比位于右边的少,直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长,因为有少数变量值很小,使曲线左侧尾部拖得很长。bs>0称分布具有正偏离,也称右偏态,此时数据位于均值右边的比位于左边的少,直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长,因为有少数变量值很大,使曲线右侧尾部拖得很长;而bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时,可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数,左偏时相反,即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。
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